Question

14．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．
（1）直接写出线段AC、AD及⊙O的半径的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）只需运用勾股定理就可求出AC，只需运用三角形的面积公式就可求出Rt△ABC的内切圆的半径，只需运用切线长定理就可求出AD长；
（2）由于点P在射线AC上，需分点P在线段AC上和在线段AC的延长线上两种情况讨论，只需运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：（1）AC=4、AD=3，⊙O的半径为1．
提示：设⊙O的半径为r，
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=4．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×（3+4+5）r，∴r=1．
设AD=m，根据切线长定理可得AF=AD=m，BE=BD=5-m，CE=CF=4-m，
∴BC=5-m+4-m=3，
解得m=3，
则AD=3；
（2）①当点P在线段AC上时，
∵PH⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AHP=∠ACB=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△CB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{5}$，
∴y=-$\frac{5}{3}$x+4．
当y=0时，x=$\frac{12}{5}$，
∴0≤x≤$\frac{12}{5}$．
②当点P在线段AC的延长线上时，
同理可得y=$\frac{5}{3}$x-4，x＞$\frac{12}{5}$．
综上所述：当0≤x≤$\frac{12}{5}$时，y=-$\frac{5}{3}$x+4；当x＞$\frac{12}{5}$时y=$\frac{5}{3}$x-4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线长定理、勾股定理、三角形的面积公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．