Question

已知：如图，△ABC绕点B旋转一定的角度得到△BDE，AC与BD相交于点F．
求证：（1）AC=DE；
（2）找出一对相似的三角形，并证明．

Answer 1

证明：（1）方法一：△ABC绕点B旋转一定的角度得到△BDE，
∴△ABC≌△DBE，
∴AC=DE；

方法二：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DCB．
即：∠ABC=∠DBE．
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE，
∴AC=DE．

（2）△ABF∽△DCF．
理由如下：∵△ABC≌△DBE，
∴∠A=∠D．
又∵∠AFB=∠DFC（对顶角相等），
∴△ABF∽△DCF．
分析：（1）根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状即可证明；也可以先证明△ABC与△DBE全等，然后利用全等三角形对应边相等证明；
（2）根据旋转的性质可得∠A=∠D，再根据对顶角相等可以找出△ABF与△DCF相似，利用两角对应相等，两三角形相似证明即可．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握各性质定理并灵活运用是解题的关键．