Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C在第一象限，tan∠AOC=，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°<α<∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG。

（1）求点B的坐标；

（2）当OG=4时，求AG的长；

（3）求证：GA平分∠OGE；

（4）连结BD并延长交轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标。

Answer 1

【答案】(1)(8,4);(2)；（3）（）.

【解析】

试题分析：(1)如图1，过点B作BH⊥x轴于点H,由已知可得∠BAH=∠COA,在Rt△ABH中，tan∠BAH=tan∠AOC=，AB=5，可求得BH=4，AH=3，所以OH=8，即可得点B的坐标为（8,4）；（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M,在Rt△AOM中，tan∠AOC=，OA=5，可求得AM=4，OA=3，所以GM=1，再由勾股定理即可求得AG=；(3)如图1，过点A作AN⊥EF轴于点N,易证△AOM≌△AFN,根据全等三角形的性质可得AM=AN,再由角平分线的判定可得GA平分∠OGE；（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q,先证△GOA∽△BAP,根据相似三角形的性质求得GQ=,再由锐角三角函数求得OQ=，即可得点G的坐标为（）.

试题解析：

（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，

∵四边形OABC为菱形，∴OC∥AB，

∴∠BAH=∠COA．

∵tan∠AOC=，

∴tan∠BAH=．

又∵在直角△BAH中，AB=5，

∴BH=3AB=4，AH=AB=3，

∴OH=OA+AH=5+3=8，

∴点B的坐标为（8，4）；

（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，

在直角△AOM中，∵tan∠AOC=，OA=5，

∴AM=OA=4，OM=OA=3，

∵OG=4，

∴GM=OG-OM=4-3=1，

∴AG=；

（3）如图1，过点A作AN⊥EF于点N，

∵在△AOM与△AFN中，

∠AOM＝∠F,OA＝FA,∠AMO＝∠ANF＝90°，

∴△AOM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

∴GA平分∠OGE．

（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，

由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α．

∵AB=AD，

∴∠ABP=，

∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，

∴∠OGA=∠EGA=1，

∴∠OGA=ABP，

又∵∠GOA=∠BAP，

∴△GOA∽△BAP，

∴，

∴GQ=×4=．

∵tan∠AOC=，

∴OQ=×=，

∴G（,）．