【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(5,0),菱形OABC的顶点B,C在第一象限,tan∠AOC=,将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α(0°<α<∠AOC)得到菱形FADE(点O的对应点为点F),EF与OC交于点G,连结AG。
(1)求点B的坐标;
(2)当OG=4时,求AG的长;
(3)求证:GA平分∠OGE;
(4)连结BD并延长交轴于点P,当点P的坐标为(12,0)时,求点G的坐标。
【答案】(1)(8,4);(2);(3)(
).
【解析】
试题分析:(1)如图1,过点B作BH⊥x轴于点H,由已知可得∠BAH=∠COA,在Rt△ABH中,tan∠BAH=tan∠AOC=,AB=5,可求得BH=4,AH=3,所以OH=8,即可得点B的坐标为(8,4);(2)如图1,过点A作AM⊥OC于点M,在Rt△AOM中,tan∠AOC=
,OA=5,可求得AM=4,OA=3,所以GM=1,再由勾股定理即可求得AG=
;(3)如图1,过点A作AN⊥EF轴于点N,易证△AOM≌△AFN,根据全等三角形的性质可得AM=AN,再由角平分线的判定可得GA平分∠OGE;(4)如图2,过点G作GQ⊥x轴于点Q,先证△GOA∽△BAP,根据相似三角形的性质求得GQ=
,再由锐角三角函数求得OQ=
,即可得点G的坐标为(
).
试题解析:
(1)如图1,过点B作BH⊥x轴于点H,
∵四边形OABC为菱形,∴OC∥AB,
∴∠BAH=∠COA.
∵tan∠AOC=,
∴tan∠BAH=.
又∵在直角△BAH中,AB=5,
∴BH=3AB=4,AH=
AB=3,
∴OH=OA+AH=5+3=8,
∴点B的坐标为(8,4);
(2)如图1,过点A作AM⊥OC于点M,
在直角△AOM中,∵tan∠AOC=,OA=5,
∴AM=OA=4,OM=
OA=3,
∵OG=4,
∴GM=OG-OM=4-3=1,
∴AG=;
(3)如图1,过点A作AN⊥EF于点N,
∵在△AOM与△AFN中,
∠AOM=∠F,OA=FA,∠AMO=∠ANF=90°,
∴△AOM≌△AFN(ASA),
∴AM=AN,
∴GA平分∠OGE.
(4)如图2,过点G作GQ⊥x轴于点Q,
由旋转可知:∠OAF=∠BAD=α.
∵AB=AD,
∴∠ABP=,
∵∠AOT=∠F,∠OTA=∠GTF,
∴∠OGA=∠EGA=1,
∴∠OGA=ABP,
又∵∠GOA=∠BAP,
∴△GOA∽△BAP,
∴,
∴GQ=×4=
.
∵tan∠AOC=,
∴OQ=×
=
,
∴G(,
).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】计算(﹣3x)(2x2﹣5x﹣1)的结果是( )
A. ﹣6x2﹣15x2﹣3x B. ﹣6x3+15x2+3x C. ﹣6x3+15x2 D. ﹣6x3+15x2﹣1
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我国第六次人口普查显示,全国人口为1370536875人,将这个总人口数(保留四个有效数字)用科学记数法表示为( )人.
A. 13.71×108 B. 1.370×109 C. 1.371×109 D. 0.137×1010
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com