Question

【题目】【发现证明】
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．

（1）【类比引申】如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

（2）【联想拓展】如图4，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解： DF=EF+BE．

理由：如图（1）所示，

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∵∠ADC=∠ABE=90°，

∴点C、D、G在一条直线上，

∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，

∵∠BAG+∠GAD=90°，

∴∠EAG=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF，

∴EF=FG，

∵FD=FG+DG，

∴DF=EF+BE；

（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图（2），

∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又∵∠EAF=45°，

而∠EAG=90°，

∴∠GAF=90°﹣45°，

在△AGF与△AEF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，

∴CF=4．

【解析】（1）类比题干的思路方法，仍是把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，由旋转的性质可得△EAF≌△GAF，由FD=FG+DG，可得DF=EF+BE；（2）类比（1），仍是旋转法：将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，仍可证△AEF≌△AGF，可得EF=FGCF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，得CF=4.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用旋转的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．