Question

【题目】问题发现：

（1）如图1，内接于半径为4的，若，则_______；

问题探究：

（2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值；

解决问题

（3）如图3，一块空地由三条直路（线段、AB、）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形ABCD的面积最大值是；（3）存在，其最大值为.

【解析】

（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根据OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的长；

（2）连接AC，由得出AC=，再根据四边形的面积= ，当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，得到BD是直径，再将AC、BD的值代入求出四边形面积的最大值即可；

（3）先证明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等边三角形，求得等边三角形的边长CD，再根据完全平方公式的关系得出PD=PC时PD+PC最大，根据CD、∠DPC求出PD，即可得到四边形周长的最大值.

（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，

∵，

∴∠AOB=120.

∵OH⊥AB，

∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，

∵OA=4，

∴AH=，

∴AB=2AH=.

故答案为：.

（2）∵∠ABC=120,四边形ABCD内接于，

∴∠ADC=60，

∵的半径为6，

∴由（1）得AC=,

如图，连接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,

∴四边形的面积= ,

当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，连接BD，则BD是的直径，

∴BD=2OA=12，BD⊥AC，

∴四边形的面积=.

∴四边形ABCD的面积最大值是

（3）存在；

∵千米，千米，，

∴△ADM≌△BMC,

∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,

∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，

∴∠AMD+∠BMC=120，

∴∠DMC=60，

∴△CDM是等边三角形，

∴C、D、M三点共圆，

∵点P在弧CD上,

∴C、D、M、P四点共圆，

∴∠DPC=180-∠DMC=120，

∵弧的半径为1千米，∠DMC=60，

∴CD=,

∵,

∴,

∴,

∴当PD=PC时，PD+PC最大，此时点P在弧CD的中点，交DC于H ,

在Rt△DPH中，∠DHP=90,∠DPH=60，DH=DC=,

∴，

∴四边形的周长最大值=DM+CM+DP+CP=.