Question

19．如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S_△AEF=4，则下列结论：①$\frac{AF}{FD}$=$\frac{1}{2}$；②S_△BCE=36；③S_△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①④
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得到AE=$\frac{1}{3}$CE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{3}$，等量代换得到AF=$\frac{1}{3}$AD，于是得到$\frac{AF}{FD}$=$\frac{1}{2}$；故①正确；根据相似三角形的性质得到S_△BCE=36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S_△ABE=12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．

解答 解：∵在?ABCD中，AO=$\frac{1}{2}$AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE=$\frac{1}{3}$CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∵AD=BC，
∴AF=$\frac{1}{3}$AD，
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{1}{2}$；故①正确；
∵S_△AEF=4，$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴S_△BCE=36；故②正确；
∵$\frac{EF}{BE}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△ABE=12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．