Question

4．如图，将?ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=6，则AE的长为$\frac{19}{4}$．

Answer 1

分析 过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

解答 解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在?ABCD中，
∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于?ABCD沿EF对折，
∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，
D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF=∠ECB，
在△D′CF与△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′=∠EBC}\\{D′C=BC}\\{∠D′CF=∠ECB}\end{array}\right.$
∴△D′CF≌△ECB（ASA）
∴D′F=EB，CF=CE，
∵DF=D′F，
∴DF=EB，AE=CF
设AE=x，
则EB=6-x，CF=x，
∵BC=4，∠CBG=60°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=2，
由勾股定理可知：CG=2$\sqrt{3}$，
∴EG=EB+BG=6-x+2=8-x
在△CEG中，
由勾股定理可知：（8-x）²+（2$\sqrt{3}$）²=x²，
解得：x=AE=$\frac{19}{4}$
故答案为：$\frac{19}{4}$

点评 本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．