Question

如图，直线y=-x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°交x轴于点Q．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线y=-x+1即可求得A、B的坐标；
（2）过P点PE⊥OA交OA于点E，根据OA=OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB=∠OBA=45°，即可求得∠APE=45°，根据平角的定义即可求得∠OPE+∠BPQ=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠AOP=∠BPQ．
（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）QP=QO；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ） 若PO=PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．

解答：解：（1）∵直线y=-x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，
令x=0，则y=0+1=1，
∴A（0，1），
令y=0，则0=-x+1，
解得：x=1．
∴B（1，0）．
（2）∠AOP=∠BPQ．
理由如下：
过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A（0，1），B（1，0）．
∴OA=OB=1，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE=45°，
∵∠OPQ=45°，
∴∠OPE+∠BPQ=90°，
∵∠AOP+∠OPE=90°，
∴∠AOP=∠BPQ．
（2）△OPQ可以是等腰三角形．
理由如下：
如图，过P点PE⊥OA交OA于点E，

（ⅰ）若OP=OQ，
则∠OPQ=∠OQP=∠OPQ，
∴∠POQ=90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP=QO，
则∠OPQ=∠QOP=45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y=-x+1得x=

1

2

，
∴点P坐标为（

1

2

，

1

2

），
（ⅲ） 若PO=PQ
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，
而∠OPQ=∠3=45°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB=OA=1，
∴AP=

2

-1
由勾股定理求得PE=AE=1-

2

2

，
∴EO=

2

2

，
∴点P坐标为（1-

2

2

，

2

2

），
∴点P坐标为（0，1），（

1

2

，

1

2

）或（1-

2

2

，

2

2

）时，△OPQ是等腰三角形．

点评：本题考查了一次函数综合题，解题的关键是要分类讨论，同时假设存在，能求出点的坐标，则存在，否则，不存在．