Question

已知一直角三角形纸片OAB，∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放在平面直角坐标系中（如图①），折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与O重合（如图②），求点C的坐标及C、A两点的距离；
（2）若折叠后使点B与A重合（如图③），求点C的坐标；
（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B′（如图④），设OB′=x，OC=y，求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由折叠后使点B与O重合，可得C是OB的中点，又由∠AOB=90°，OA=2，OB=4，即可求得点A与C的坐标，继而求得C、A两点的距离；
（2）首先设C（0，y），由题意知：B（0，4），A（2，0）且BC=CA，把B、A两点坐标代入得：4-y=

22+y2

（或

(4-y)2

=

22+y2

），继而求得答案；
（3）首先设C（0，y），B′（x，0），由题意知BC=B′C，则可得4-y=

x2+y2

，继而求得答案．

解答：解：（1）∵折叠后使点B与O重合，
∴C是OB的中点，
∵OB=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）；
∵OA=2，
∴A（2，0）；
∴CA=

(0-2)2+(2-0)2

=2

2

；

（2）设C（0，y），
由题意知：B（0，4），A（2，0）且BC=CA，
把B、A两点坐标代入得：4-y=

22+y2

，
解得：y=

3

2

，
∴C（0，

3

2

）；

（3）设C（0，y），B′（x，0），
由题意知BC=B′C，
代入得：4-y=

x2+y2

，
整理得：y=2-

x2

2

（0≤x≤2）．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了折叠的性质，两点间的距离等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．