Question

如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.

Answer 1

（1）连接OD，BD

易得∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°,

由CE=DE,OD=AO，得∠CDE=∠C ，∠ADO=∠A

由∠A+∠C=90°得∠ADO+∠CDE=90°…………………………………………………………3分

所以∠ODE=90° 所以DE是⊙O的切线  ……………………………………………………4分

（2）作EF⊥CD于F，设EF=x

因为∠C=45°,所以△CEF、△ABC都是等腰直角三角形   …………………………………5分

所以CF=EF=x，所以BE=CE=     所以AB=BC=  ……………………………7分

     所以 sin∠CAE=  ………………………………9分