Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于A点，与y轴相交于B、C两点，且A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1）．
（1）求点C的坐标和⊙M的半径；
（2）设点P在x轴的负半轴上，连接PB并延长，交⊙M于点D，若△ABD与△ABO相似，求PB•PD的值．

Answer 1

解：（1）A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），
∴OA=2，OB=1，
又⊙M与x轴相切于A点，与y轴相交于B、C两点，
∴OA²=OB•OC，∴OC=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
连接MA，过点M作MN⊥BC于N，则四边形OAMN是矩形，
∴MA=ON=OB+BC=，
∴⊙M的半径为．


（2）若△ABD与△ABO相似，又OA是⊙O的切线，则当点P在x轴的负半轴上，
连接PB并延长，交⊙M于点D时，必有∠OAB=∠D，
因此，△ABD与△ABO相似有两种情况．而△ABO是直角三角形，
故△ABD中，可能∠BAD=90°，可能∠ABD=90°．
①如果∠BAD=90°，则PD必过圆心，连接AD、AM，则AM⊥x轴，
∴OB∥AM，
∴PO：PA=OB：AM，
设OP=x，有x：（x+2）=2：5，
∴x=，∴PA=PO+OA=，
∴PB•PD=PA²=；
②如果∠ABD=90°；连接AD，则AD必过圆心且AD⊥x轴，
∴OB∥AD，∴OP：PA=OB：AD，
设OP=y，有y：（y+2）=1：5，∴y=，
∴PA=PO+OA=，
∴PB•PD=PA²=，
∴PB•PD的值是或者．
分析：（1）已知OA，OB的长度，又OA是⊙O的切线，根据切割线定理求出OC的长，从而确定点C的坐标．过点M作MN⊥BC于N，则ON=OB+BC，求出⊙M的半径．
（2）若△ABD与△ABO相似，又OA是⊙O的切线，则当点P在x轴的负半轴上，连接PB并延长，交⊙M于点D时，必有∠OAB=∠D，因此，△ABD与△ABO相似有两种情况．而△ABO是直角三角形，故△ABD中，可能∠BAD=90°，可能∠ABD=90°，无论哪种情况，都可以根据相似三角形的性质求出PB•PD的值．
点评：（1）涉及圆中求半径的问题，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
（2）本题综合考查了垂径定理和相似三角形的性质，本问中判别△ABD与△ABO相似有两种情况是解题的关键．