Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m

（1）用含a的代数式表示b．

（2）当点D的横坐标为8时，求出a的值．

（3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．

Answer 1

【答案】(1) b=1﹣2a；（2）a=﹣；（3）m=5时，△ABF的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）把A（2，0）代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0，即可得b=1﹣2a；（2）先求得点D的坐标为（8，﹣6），代入y=ax2+bx﹣2中，结合（1）即可求得a的值；（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB用H．设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m+m﹣2），构建△ABF的面积为S与m的二次函数关系，利用二次函数的性质解答即可．

（1）由题意A（2，0），B（0，2），

把A（2，0）代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0，

∴b=1﹣2a．

（2）∵D的横坐标为8，

x=8时，y=﹣8+2=﹣6，

∴D（8，﹣6），

把D（8，﹣6）代入y=ax2+bx﹣2得到：64a+8b﹣2=﹣6，

∴64a+8（1﹣2a）﹣2=﹣6，

∴a=﹣．

（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB用H．设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m+m﹣2）．

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°，AB=2，

∵EF∥OB，

∴∠FEH=∠OBA=45°，

∴FH=EF，

∴S△ABF=×AB×FH=×2×（﹣m2+m﹣4）=﹣（m﹣5）2+，

∵﹣＜0，

∴m=5时，△ABF的面积最大，最大值为．