Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．

（1）点D在边AB上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论；

（2）点D在AB的延长线上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AB＝FA+BD，证明详见解析；（2）点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD，理由详见解析；点D在AB的反向延长线上时，AB= BD-AF，理由见解析.

【解析】

（1）由余角的性质可证∠FBA=∠FCE，根据“ASA”证明△FAB≌△DAC，可得FA=DA，从而可得到AB=AD+BD=FA+BD；

（2）分两种情况求解：①点D在AB的延长线上时，②点D在AB的反向延长线上时，画出图形并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题.

解：（1）AB＝FA+BD．

证明：如图1，

∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，

∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°．

∴∠FBA＝∠FCE．

∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，

∴∠FAB＝∠DAC．

在△FAB和△DAC中，

．

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA＝DA．

∴AB＝AD+BD＝FA+BD．

（2）点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD，

理由如下：

①当点D在AB的延长线上时，如图2．

与（1）同样的方法可证：FA＝DA，

则AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．

②点D在AB的反向延长线上时，如图3，

同理可证：FA=DA，

则AB=BD-AD=BD-AF．