Question

【题目】（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为　 　；

（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；

（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．

【解析】

（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．

（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．

（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．

解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．

理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，

∴∠BAF＝∠F，

在△ABE和△FCE中，

CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，

∴△ABE≌△FEC（AAS），

∴CF＝AB，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF＝∠FAD，

∴∠FAD＝∠F，

∴AD＝DF，

∵DC+CF＝DF，

∴DC+AB＝AD．

故答案为AD＝AB+DC．

（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．

证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE＝BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC

∴△AEB≌△GEC（AAS）

∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分线

∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG∠G，

∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，

∵CG＝CF+FG，

∴AB＝AF+CF．

（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．

证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE＝BE，

∵AB∥CF，

∴∠BAE＝∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB＝GC，

∵∠EDF＝∠BAE，

∴∠FDG＝∠G，

∴FD＝FG，

∴AB＝DF+CF．