Question

【题目】如图，是的直径，点、是圆上的两点，且平分，过点作延长线的垂线，垂足为．若的半径为，，则图中阴影部分的面积是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接OT、OD、过O作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，求出∠OAM，求出∠AOT，求出OT∥AC，得出PC是圆的切线，得出等边三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD的面积和扇形OTD的面积．相减即可求出答案．

解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，

∵OA=OT，AT平分∠BAC，

∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，

∴∠OTA=∠CAT，

∴OT∥AC，

∵PC⊥AC，

∴OT⊥PC，

∵OT为半径，

∴PC是⊙O的切线，

∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，

∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，

∴四边形OMCT是矩形，

∴OM=TC=，

∵OA=2，

∴sin∠OAM=，

∴∠OAM=60°，

∴∠AOM=30°

∵AC∥OT，

∴∠AOT=180°-∠OAM=120°，

∵∠OAM=60°，OA=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，

∴∠TOD=120°-60°=60°，

∵PC切⊙O于T，

∴∠DTC=∠CAT=∠BAC=30°，

∴tan30°==，

∴DC=1，

∴阴影部分的面积是S梯形OTCD-S扇形OTD=×（2+1）×-=．

故答案为：．