Question

【题目】在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．

⑴求证△ABD为等腰三角形．

⑵求证ACAF=DFFE

Answer 1

【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB

∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA

∴弧CD=弧DF

∴CD=DF

再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知

∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF

∴ACAF=" CD" FE

而CD=DF，

∴ACAF=DFFE

【解析】

解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定，等角对等边。

有一定的几何知识的综合性。考查学生审图，分析图中边角关系的解题技能。