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【题目】2018郑州模拟)如图,抛物线过点,与y轴交于点C

1)求该抛物线的解析式;

2)如图①,直线l的解析式为,抛物线的对称轴与线段BC交于点P,过点P作直线l的垂线,垂足为点H,连接OP,求的面积;

3)把图①中的直线向下平移4个单位长度得到直线,如图②,直线x轴交于点G.点P是四边形ABCO边上的一点,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足分别为点EF.是否存在点P,使得以PEF为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,点坐标为(04)(46)

【解析】

解:(1)∵抛物线过点

解得

∴抛物线的解析式为

(2)∵该抛物线的对称轴为直线

如解图①,延长轴于点,∵直线的解析式为

均为等腰直角三角形,

可得

(3)存在满足条件的点,点坐标为(04)(46)时,以为顶点的三角形是等腰三角形.

[解法提示]设直线轴、轴分别交于点、点,则

假设存在满足条件的点

(a)当点在线段上时,如解图②所示,此时点与点重合,

过点轴于点

中,

,则,解得,故此种情形不存在;

,则

整理得

,不成立,故此种情形不存在;

,则

整理得,即,解得

(b)当点边上时,如解图③,此时

过点分别作于点轴于点

易知为等腰直角三角形,

∴将代入

(c)当点在线段上时,如解图④,

∴可求得直线的解析式为

联立,解得

(a)同理,可求得

,则,解得,故此种情形不存在;

,则

整理得,即,解得,符合条件,此时

整理得,即,解得,故此种情形不存在;

(d)当点在线段上时,如解图⑤所示.

的夹角为135°

∴只可能是成立,

∴点的平分线上.

设此角平分线与轴交于点,过点直线于点

解得

∴直线的解析式为:

联立直线与直线

求得

(e)当点边上时,此时,等腰三角形不存在;

综上所述,存在满足条件的点P,且点坐标为:

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A.B.

C.D.

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