【题目】(2018郑州模拟)如图,抛物线过点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图①,直线l的解析式为,抛物线的对称轴与线段BC交于点P,过点P作直线l的垂线,垂足为点H,连接OP,求的面积;
(3)把图①中的直线向下平移4个单位长度得到直线,如图②,直线与x轴交于点G.点P是四边形ABCO边上的一点,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足分别为点E、F.是否存在点P,使得以P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,点坐标为(0,4)或或(4,6)或.
【解析】
解:(1)∵抛物线过点,
,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)∵该抛物线的对称轴为直线
,
,
如解图①,延长交轴于点,∵直线的解析式为,
均为等腰直角三角形,
,
,
可得.
;
(3)存在满足条件的点,点坐标为(0,4)或或(4,6)或时,以为顶点的三角形是等腰三角形.
[解法提示]设直线与轴、轴分别交于点、点,则,
假设存在满足条件的点,
(a)当点在线段上时,如解图②所示,此时点与点重合,
设,
则,
,
过点作轴于点,
则,
,
在中,
,
若,则,解得,故此种情形不存在;
若,则
,
整理得,
即,不成立,故此种情形不存在;
若,则
,
整理得,即,解得.
;
(b)当点在边上时,如解图③,此时,
若,
过点分别作于点,轴于点,
易知为等腰直角三角形,
,
,
∴将代入,
得,
,
,
.
(c)当点在线段上时,如解图④,
,
∴可求得直线的解析式为
;
联立与,解得,.
设,
则,
,
.
与(a)同理,可求得
,
若,则,解得,故此种情形不存在;
若,则
,
整理得,即,解得,符合条件,此时;
若,
则,
整理得,即,解得,故此种情形不存在;
(d)当点在线段上时,如解图⑤所示.
的夹角为135°,
∴只可能是成立,
∴点在的平分线上.
设此角平分线与轴交于点,过点作直线于点,
则,,
,
解得,
,
又,
∴直线的解析式为:
,
联立直线与直线,
求得;
(e)当点在边上时,此时,等腰三角形不存在;
综上所述,存在满足条件的点P,且点坐标为:.
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【题目】如图,在ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点M、Q分别是边AB、BC上的动点(点M不与A、B重合),且MQ⊥BC,过点M作MN∥BC.交AC于点N,连接NQ,设BQ=x.
(1)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,并说明理由;
(2)当BM=2时,求x的值;
(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
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【题目】如图,已知,点为射线上一个动点,连接,将沿折叠,点落在点处,过点作的垂线,分别交于点当点为线段的三等分点时,的长为_____________
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【题目】如图,在中,,取的中点,连接,点关于线段的对称点为点,点为线段上的一个动点,连接、、、,已知,,,,当的值最小时,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,点A、B分别在y轴和x轴上,BC⊥AB(点C和点O在直线AB的两侧),点C的坐标为(4,n)过点C的反比例函数y=(x>0)的图象交边AC于点D(n+,3).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求点B的坐标.
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【题目】2019年女排世界杯于9月在日本举行,中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军,充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神.如图是某次比赛中垫球时的动作,若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线,在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系,已知运动员垫球时(图中点)离球网的水平距离为5米,排球与地面的垂直距离为0.5米,排球在球网上端0.26米处(图中点)越过球网(女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米),落地时(图中点)距球网的水平距离为2.5米,则排球运动路线的函数表达式为( )
A.B.
C.D.
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【题目】在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中,城区污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台,对城区周边污水进行处理.已知每台A型设备价格为12万元,每台B型设备价格为10万元;1台A型设备和2台B型设备每周可以处理污水640吨,2台A型设备和3台B型设备每周可以处理污水1080吨.
(1)求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?
(2)要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元,但每周处理污水的量又不低于4500吨,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少?
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【题目】为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;
信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
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