【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线BM⊥AB于点B,点C在⊙O上,分别连接BC,AC,且AC的延长线交BM于点D,CF为⊙O的切线交BM于点F.
(1)求证:CF=DF;
(2)连接OF,若AB=10,BC=6,求线段OF的长.
【答案】(1)详见解析;(2)OF=.
【解析】
(1)连接OC,如图,根据切线的性质得∠1+∠3=90°,则可证明∠3=∠4,再根据圆周角定理得到∠ACB=90°,然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5,从而根据等腰三角形的判定定理得到结论;
(2)根据勾股定理计算出AC=8,再证明△ABC∽△ABD,利用相似比得到AD=,然后证明OF为△ABD的中位线,从而根据三角形中位线性质求出OF的长.
(1)证明:连接OC,如图,
∵CF为切线,
∴OC⊥CF,
∴∠1+∠3=90°,
∵BM⊥AB,
∴∠2+∠4=90°,
∵OC=OB,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠3+∠5=90°,∠4+∠BDC=90°,
∴∠BDC=∠5,
∴CF=DF;
(2)在Rt△ABC中,AC==8,
∵∠BAC=∠DAB,
∴△ABC∽△ABD,
∴,即
,
∴AD=,
∵∠3=∠4,
∴FC=FB,
而FC=FD,
∴FD=FB,
而BO=AO,
∴OF为△ABD的中位线,
∴OF=AD=
.
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【题目】某演唱会购买门票的方式有两种
方式一:若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元;(注方式一中总费用=广告费用+门票费用)
方式二:按如图所示的购买门票方式.
设购买门票x张,总费用为y万元.
(1)求按方式一购买时y与x的函数关系式
(2)若甲、乙两个单位分采用方式一,方式二购买本场演唱会门共400张,且乙单位购买超过100张,两单位共花费27.2万元,求甲、乙两单位各购买门票多少张?
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【题目】已知:在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 -2ax+4(a<0) 交 x 轴于点 A、B,与 y 轴交于点 C,AB=6.
(1)如图 1,求抛物线的解析式;
(2) 如图 2,点 R 为第一象限的抛物线上一点,分别连接 RB、RC,设△RBC 的面积为 s,点 R 的横坐标为 t,求 s 与 t 的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,如图 3,点 D 在 x 轴的负半轴上,点 F 在 y 轴的正半轴上,点 E 为 OB 上一点,点 P 为第一象限内一点,连接 PD、EF,PD 交 OC 于点 G,DG=EF,PD⊥EF,连接 PE,∠PEF=2∠PDE,连接 PB、PC,过点R 作 RT⊥OB 于点 T,交 PC 于点 S,若点 P 在 BT 的垂直平分线上,OB-TS=,求点 R 的坐标.
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【题目】如图,点A(0,4)、B(2,0),点C、D分别是OA、AB的中点,在射线CD上有一动点P,若△ABP是直角三角形,则点P的坐标为_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,O)、C(3,0),点B为抛物线顶点,直线BD为抛物线的对称轴,点D在x轴上,连接AB、BC.
⑴如图1,若∠ABC=60°,则点B的坐标为______________;
⑵如图2,若∠ABC=90°,AB与y轴交于点E,连接CE.
①求这条抛物线的解析式;
②点P为第一象限抛物线上一个动点,设△PEC的面积为S,点P的横坐标为m,求S关于m的函数关系武,并求出S的最大值;
③如图3,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD,若存在请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=AB=6,△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,△ABC的形状始终保持不变,在运动的过程中,点C到点O的距离为整数的点有( )个.
A.5B.6C.7D.8
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【题目】正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=FM
(2)当AE=1时,求EF的长.
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图①,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证:∠1=∠2;
(2)在图②中作⊙M,使它满足以下条件:①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
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