Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；

（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析．

【解析】

（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出结论；

（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M．

解：（1）证明：如图①，连接OF，

∵AC是⊙O的切线，

∴OE⊥AC，

∵∠C＝90°，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠OFB，

∵OF＝OB，

∴∠OFB＝∠2，

∴∠1＝∠2．

（2）如图②所示⊙M为所求．①

①作∠ABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，

即⊙M为所求．

证明：∵M在BF的垂直平分线上，

∴MF＝MB，

∴∠MBF＝∠MFB，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠MBF＝∠CBF，

∴∠CBF＝∠MFB，

∴MF∥BC，

∵∠C＝90°，

∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切．