Question

13．如图，在△ABC中，设E，F，P分别在边BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP交于一点D，且$\frac{AD}{DE}$+$\frac{BD}{DF}$+$\frac{CD}{DP}$=n，则$\frac{AD}{DE}$$•\frac{BD}{DF}•\frac{CD}{DP}$=n+2．

Answer 1

分析 设S_△BCD=S₁，S_△CAD=S₂，S_△ABD=S₃，根据等高三角形的面积的比等于底的比得到$\frac{AD}{DE}$═$\frac{{S}_{3}{+S}_{2}}{{S}_{1}}$，同理$\frac{BD}{DF}=\frac{{S}_{1}{+S}_{3}}{{S}_{2}}$，$\frac{CD}{DP}=\frac{{S}_{1}{+S}_{2}}{{S}_{3}}$，于是得到n+2=$\frac{{S}_{3}{+S}_{2}}{{S}_{1}}$+$\frac{{S}_{1}{+S}_{3}}{{S}_{2}}$+$\frac{{S}_{1}{+S}_{2}}{{S}_{3}}$+2，通过化简得到$\frac{（{S}_{1}+{S}_{2}）（{S}_{1}+{S}_{3}）（{S}_{2}+{S}_{3}）}{{S}_{1}{S}_{3}{S}_{2}}$，从而得到$\frac{AD}{DE}$$•\frac{BD}{DF}•\frac{CD}{DP}$=$\frac{（{S}_{1}+{S}_{2}）（{S}_{1}+{S}_{3}）（{S}_{2}+{S}_{3}）}{{S}_{1}{S}_{3}{S}_{2}}$=n+2．

解答 解：设S_△BCD=S₁，S_△CAD=S₂，S_△ABD=S₃，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△EBD}}$=$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ECD}}$=$\frac{{S}_{△ABD}{+S}_{△ACD}}{{S}_{△EBD}{+S}_{△ECD}}$=$\frac{{S}_{3}{+S}_{2}}{{S}_{1}}$，
同理$\frac{BD}{DF}=\frac{{S}_{1}{+S}_{3}}{{S}_{2}}$，$\frac{CD}{DP}=\frac{{S}_{1}{+S}_{2}}{{S}_{3}}$，
∴n+2=$\frac{{S}_{3}{+S}_{2}}{{S}_{1}}$+$\frac{{S}_{1}{+S}_{3}}{{S}_{2}}$+$\frac{{S}_{1}{+S}_{2}}{{S}_{3}}$+2
=$\frac{{{S}_{2}S}_{3}{（S}_{2}{+S}_{3}）{{+S}_{1}S}_{3}{（S}_{1}{+S}_{3}）}{{{{S}_{1}S}_{2}S}_{3}}$+$\frac{{{S}_{1}S}_{2}{（S}_{1}{+S}_{2}）+{{{2S}_{1}S}_{2}S}_{3}}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$
=$\frac{{S}_{2}{{S}_{3}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}{S}_{3}+{{S}_{1}}^{2}{S}_{3}+{S}_{1}{{S}_{3}}^{2}}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{{{S}_{1}}^{2}{S}_{2}{+S}_{1}{{S}_{2}}^{2}+2{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$
=$\frac{（{{S}_{1}}^{2}{S}_{2}+{{S}_{1}}^{2}{S}_{3}+{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}+{S}_{1}{{S}_{3}}^{2}）}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{（{S}_{1}{{S}_{2}}^{2}+{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}+{{S}_{2}}^{2}{S}_{3}+{S}_{2}{{S}_{3}}^{2}）}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$
=$\frac{{S}_{1}（{S}_{1}{S}_{2}+{S}_{1}{S}_{3}+{S}_{2}{S}_{3}+{{S}_{3}}^{2}）}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{{S}_{2}（{S}_{1}{S}_{2}+{S}_{1}{S}_{3}+{S}_{2}{S}_{3}{{+S}_{3}}^{2}）}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$
=$\frac{{S}_{1}（{S}_{1}+{S}_{3}）（{S}_{2}+{S}_{3}）+{S}_{2}（{S}_{1}+{S}_{3}）（{S}_{2}+{S}_{3}）}{{S}_{1}{S}_{2}{S}_{3}}$
=$\frac{（{S}_{1}+{S}_{2}）（{S}_{1}+{S}_{3}）（{S}_{2}+{S}_{3}）}{{S}_{1}{S}_{3}{S}_{2}}$，
∴$\frac{AD}{DE}$$•\frac{BD}{DF}•\frac{CD}{DP}$=$\frac{（{S}_{1}+{S}_{2}）（{S}_{1}+{S}_{3}）（{S}_{2}+{S}_{3}）}{{S}_{1}{S}_{3}{S}_{2}}$=n+2．
故答案为：n+2．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了坐标与图形性质．