Question

13．已知$\sqrt{a-1}$+|b²+1|=1，求$\frac{1}{（a+1）（b+1）}+\frac{1}{（a+2）（b+2）}+$…+$\frac{1}{（a+2016）（b+2016）}$的值．

Answer 1

分析 由$\sqrt{a-1}$+|b²+1|=1，又因为|b²+1|≥1，$\sqrt{a-1}$≥0，所以a=1，b=0，代入原式得$\frac{1}{2×1}$+$\frac{1}{3×2}$+$\frac{1}{4×3}$+…+$\frac{1}{2017×2016}$=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$即可化简．

解答 解：∵$\sqrt{a-1}$+|b²+1|=1，
又∵|b²+1|≥1，$\sqrt{a-1}$≥0，
∴a=1，b=0
∴原式=$\frac{1}{2×1}$+$\frac{1}{3×2}$+$\frac{1}{4×3}$+…+$\frac{1}{2017×2016}$
=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查分式的化简求值、非负数的性质、把$\frac{1}{n（n+1）}$写为$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$是解题的关键．