Question

3．如图，BC是⊙O的直径，点A是$\widehat{BC}$的中点，D为$\widehat{AB}$上一点，DC交AB于E，AF⊥CD于F，AF=2EF，求证：AE=BE．

Answer 1

分析 连接AC，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，由已知条件得到AB=AC，通过△AEF∽△ACE，得到$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{EF}$，即可得到结论．

解答 证明：连接AC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵点A是$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∵AF⊥CD于F，
∴∠AFE=∠EAC=90°，
∵∠AEF=∠AEC，
∴△AEF∽△ACE，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{EF}$，
∵AF=2EF，
∴AC=2AE，
∴AB=2AE，
∴AE=BE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，连接AC，构造相似三角形是解题的关键．