Question

13．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM=BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠FAM=45°，在直角三角形中用∠FAM的正弦值即可求出FM的长度，结合边的关系即可得出结论．

解答 解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．

∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB=45°，FM=BM．
在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，
∴FM=AM•sin∠FAM=$\sqrt{2}$．
AB=AM+MB=2+$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是在直角三角形中求出FM的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．