Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosC=$\frac{1}{4}$，BD是中线，将△CBD沿直线BD翻折后，点C落在点E，那么AE的长为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形，先证明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出BM，再证明四边形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解决问题．

解答 解：如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形．
∵AB=AC=4，cosC=$\frac{1}{4}$，
∴CH=1，AH=NB=$\sqrt{15}$，BC=2，
∵AM∥BC，
∴∠M=∠DBC，
在△ADM和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠DBC}\\{∠ADM=∠BDC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDB，
∴AM=BC=2，DM=BD，
在RT△BMN中，∵BN=$\sqrt{15}$，MN=3，
∴BM=$\sqrt{M{N}^{2}+B{N}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BD=DM=$\sqrt{6}$，
∵BC=CD=BE=DE=2，
∴四边形EBCD是菱形，
∴EC⊥BD，BO=OD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EO=OC，
∵AD=DC，
∴AE∥OD，AE=2OD=$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现AE=2OD，求出OD即可解决问题，属于中考常考题型．