Question

9．实数a、b、c、m满足：$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$=$\frac{b+c}{a}$=m，那么直线y=mx-$\sqrt{2}$与如图中⊙O的位置关系为相交或相切．

Answer 1

分析 根据$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$=$\frac{b+c}{a}$=m，可以求得m的值，然后根据图中圆的圆心坐标和半径，可以求出圆心到直线的距离，然后与半径比较即可解答本题．

解答 解：∵$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+b}{c}$=$\frac{b+c}{a}$=m，
∴a+c=mb，a+b=mc，b+c=ma，
∴2（a+b+c）=m（a+b+c），
得，m=2或a+b+c=0，
∴m=2或m=-1，
∴y=2x-$\sqrt{2}$或y=-x-$\sqrt{2}$，
∵图中⊙O的圆心坐标为（0，0），半径为1，
∴圆心到直线y=2x-$\sqrt{2}$的距离为：$\frac{|2×0-0-\sqrt{2}|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，圆心到直线y=-x-$\sqrt{2}$的距离为：$\frac{|-0-0-\sqrt{2}|}{\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}}=1$
∵$\frac{\sqrt{10}}{5}＜1$，1=1，
∴直线y=mx-$\sqrt{2}$与如图中⊙O的位置关系为相交或相切．

点评 本题考查直线与圆的位置关系．解题的关键是求出m的值，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离．