Question

17．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段 OA，OC的长是一元二次方程x²-17x+60=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点E

（1）求k的值；
（2）若直线 AB与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上除点E外的另一交点为P，求四边形ODEP的面积；
（3）在直线CD下方的反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上是否存在一点Q，使以点C、E、Q为顶点的三角形的面积等于42？若存在，求出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥y轴于点F，设EF=3x，则BF=4x，由勾股定理求出x的值可得出EF及BF的长，求出一元二次方程x²-17x+60=0的解可得出OA及OC的长，根据锐角三角函数的定义求出OB的长故可得出F点的坐标，求出E点坐标代入反比例函数的解析式可得出k的值；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB与反比例函数的解析式可得出P点坐标，再求出直线CD的解析式，利用S_{四边形ODEP}=S_梯形EFOA-S_△DEF-S_△OAP可得出结论；
（3）过点Q作QG⊥y轴，交直线CD于点G，设Q（m，$\frac{36}{m}$），则G（$\frac{12}{m}$-5，$\frac{36}{m}$），得出QG的长，根据S_△CEQ=$\frac{1}{2}$QG•（y_E-y_C）可得出m的值，进而得出Q点的坐标．

解答 解：（1）如图1，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴设EF=3x，则BF=4x．
∵BE=5，EF²+BF²=BE²，
∴（3x）²+（4x）²=5²，解得x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴EF=3，BF=4．
解一元二次方程x²-17x+60=0得x₁=5，x₂=12，
∵OA＞OC，
∴OC=5，OA=12，
∴A（12，0），C（-5，0）．
在Rt△ABO中，
∵BO=$\frac{AO}{tan∠ABO}$=$\frac{12}{\frac{3}{4}}$=16，
∴OF=16-4=12，
∴E（3，12），
将E（3，12）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=36，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{36}{x}$；

（2）∵E（3，12），BF=4，
∴B（0，16）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（12，0），B（0，16）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}0=12k+b\\ 16=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=16\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+16，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x+16\\ y=\frac{36}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=3\\{y}_{1}=12\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=9\\{y}_{2}=4\end{array}\right.$，
∴P（9，4）．
设直线CD的解析式为y=ax+c（a≠0），
∵C（-5，0），（3，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=-5a+c\\ 12=3a+c\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴D（0，$\frac{15}{2}$），
∴S_{四边形ODEP}=S_梯形EFOA-S_△DEF-S_△OAP
=$\frac{（3+12）×12}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×（12-$\frac{15}{2}$）-$\frac{1}{2}$×12×4
=$\frac{237}{4}$；

（3）存在．
如图2，过点Q作QG⊥y轴，交直线CD于点G，
∵设Q（m，$\frac{36}{m}$），则G（$\frac{12}{m}$-5，$\frac{36}{m}$），
∴QG=m-（$\frac{12}{m}$-5）=m-$\frac{12}{m}$+5，
∴S_△CEQ=$\frac{1}{2}$QG•（y_E-y_C）=$\frac{1}{2}$×（m-$\frac{12}{m}$+5）×12=42，
解得m₁=6，m₂=-4，
∴Q（6，6）或Q（-4，-9）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到利用待定系数求一次函数及反比例函数的解析式，锐角三角函数的定义等知识，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出三角形求解．