Question

4．如图，平行四边形ABCD中，AD=4，∠A=60°，E，F分别是AD，CD边上的中点，且EF=$\sqrt{19}$，连接EB并延长至H，使BE=BH，连接HC并延长与EF延长线交于G，N是线段EG上一动点，以EH为对角线的所有平行四边形ENHM中，MN的最小值是$\frac{18\sqrt{57}}{19}$．

Answer 1

分析 连接AC交MN于T，作DR⊥EF于R，FJ⊥AD于J．首先想办法求出DR，由题意可知，当MN⊥EF时，MN的值最小，此时BT=2DR，BN=BM=3DR，MN=6DR，由此即可解决问题．

解答 解：连接AC交MN于T，作DR⊥EF于R，FJ⊥AD于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠JDF=∠DA=60°，
在Rt△DEJ中，DF=2DJ，设DJ=x，则DF=2x，FJ=$\sqrt{3}$x，
在Rt△EFJ中，∵EJ²+FJ²=EF²，
∴（2+x）²+（$\sqrt{3}$x）²=19，
解得x=$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{2}$（舍弃），
∵S_△EDF=$\frac{1}{2}$•DE•FJ=$\frac{1}{2}$•EF•DR，
∴DR=$\frac{3\sqrt{57}}{19}$，
由题意可知，当MN⊥EF时，MN的值最小，此时BT=2DR，BN=BM=3DR，MN=6DR，
∴MN的最小值为$\frac{18\sqrt{57}}{19}$．
故答案为$\frac{18\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．