Question

【题目】在学习了第四章《基本的平面图形》的知识后，小明将自己手中的一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形1和图形2．

（1）在图1中，当AD平分∠BAC时，小明认为此时AB也应该平分∠FAD，请你通过计算判断小明的结论是否正确．

（2）小明还发现：只要AD在∠BAC的内部，当△ABC绕直角顶点A旋转时，总有∠FAB=∠DAC（见图2），请你判断小明的发现是否正确，并简述理由．

（3）在图2中，当∠FAC=x，∠BAD=y，请你探究x与y的关系．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）小明的结论正确，理由详见解析；（3）y=180°﹣x（90＜x＜180°）．

【解析】

（1）根据AD平分∠BAC可求出∠BAD=45°，由∠FAD=90°可求出∠FAB=45°，即可证明AB平分∠FAD.（2）根据∠BAD+∠CAD=90°，∠FAB+∠BAD=90°，即可证明∠FAB=∠DAC．（3）根据∠FAB=∠FAC﹣90°=90°-∠BAD即可得出答案.

（1）小明的结论正确，理由如下：

∵AD平分∠BAC，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠CAD=45°．

∵∠FAB+∠BAD=90°，

∴∠FAB=45°，

∴∠FAB=∠BAD，

∴AB平分∠FAD．

（2）小明的结论正确，理由如下：

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠FAB+∠BAD=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

（3）∵∠FAC=∠FAB+90°，

∴∠FAB=∠FAC﹣90°．

∵∠BAD=90°﹣∠FAB，

∴∠BAD=180°﹣∠FAC，即y=180°﹣x（90＜x＜180°）．