【题目】如图,在等边△BCD中,DF⊥BC于点F,点A为直线DF上一动点,以B为旋转中心,把BA顺时针方向旋转60°至BE,连接EC.
(1)当点A在线段DF的延长线上时,
①求证:DA=CE;
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系,并说明理由;
(2)当∠DEC=45°时,连接AC,求∠BAC的度数.
【答案】(1)①证明见解析②∠DEC+∠EDC=90°;(2)150°或30°
【解析】
试题①证明△BAD≌△BEC,即可证明.
②分别求出和
的度数,即可求出∠DEC和∠EDC的数量关系.
分三种情况进行讨论.
试题解析:
(1)①证明:∵把BA顺时针方向旋转60°至BE,
∴60°,
在等边△BCD中,
,
,
,
,
∴△BAD≌△BEC,
∴DA=CE;
②判断:∠DEC+∠EDC=90°.
,
,
,
∵△BAD≌△BEC,
∴∠BCE=∠BDA=30°,
在等边△BCD中,∠BCD=60°,
∴∠DCE=∠BCE+∠BCD=90°,∴∠DEC+∠EDC=90°.
(2)分三种情况考虑:
①当点A在线段DF的延长线上时(如图1),
由(1)可得, 是直角三角形,
,
当时,
,
,
,
由(1)得DA=CE,∴CD=DA,在等边中,
,
,
,
,
,
在中,
,
,
在中,
,
,
.
②当点A在线段DF上时(如图2),
以B为旋转中心,把BA顺时针旋转至BE.
,
在等边中,
,
,
,
,
≌
,
,
在
,
<
,
∵DA<DF,DA=CE,
∴CE<DC,
由②可知为直角三角形,
∴∠DEC≠45°.
③当点A在线段FD的延长线上时(如图3),
同第②种情况可得≌
,
,
在等边中,
,
,
,
,
,
,
当时,
,
,
,
∴AD=CD=BD,
∵,
,
,
,
综上所述,的度数是
或
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【题目】如图,已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°,那么点A的对应点的坐标为( )
A. (﹣1,2) B. (﹣2,1) C. (1,﹣2) D. (2,﹣1)
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【题目】某商场销售一种商品的进价为每件30元,销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示.
(1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式.
(2)设这种商品月利润为W(元),求W与x之间的函数关系式.
(3)这种商品的销售单价定为多少元时,月利润最大?最大月利润是多少?
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【题目】在学习了第四章《基本的平面图形》的知识后,小明将自己手中的一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形1和图形2.
(1)在图1中,当AD平分∠BAC时,小明认为此时AB也应该平分∠FAD,请你通过计算判断小明的结论是否正确.
(2)小明还发现:只要AD在∠BAC的内部,当△ABC绕直角顶点A旋转时,总有∠FAB=∠DAC(见图2),请你判断小明的发现是否正确,并简述理由.
(3)在图2中,当∠FAC=x,∠BAD=y,请你探究x与y的关系.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,以
为直径在第一象限内作半圆,
为半圆上一点,连接
并延长至
,使
,过
作
轴于点
,交线段
于点
,已知
,抛物线经过
、
、
三点.
________°.
求抛物线的函数表达式.
若
为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以
、
、
、
为顶点的四边形面积记作
,则
取何值时,相应的点
有且只有
个?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中,将正确结论的序号全部选对的是
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
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