【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,以为直径在第一象限内作半圆,为半圆上一点,连接并延长至,使,过作轴于点,交线段于点,已知,抛物线经过、、三点.
________°.
求抛物线的函数表达式.
若为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以、、、为顶点的四边形面积记作,则取何值时,相应的点有且只有个?
【答案】(1)90;(2);(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时,相应的点P有且只有3个.
【解析】
(1)利用圆周角定理,直径所对的圆周角等于90°,即可得出答案;
(2)利用(1)中的结论易得OB是AC的垂直平分线,易得点B,点C的坐标,由点O,点B的坐标易得OB所在直线的解析式,从而得出点E的坐标,用待定系数法得抛物线的解析式;
(3)利用(2)的结论易得点P的坐标,分类讨论①若点P在CD的左侧,延长OP交CD于Q,如右图2,易得OP所在直线的函数关系式,表示出Q点的纵坐标,
得QE的长,表示出四边形POAE的面积;②若点P在CD的右侧,延长AP交CD于Q,如右图3,易得AP所在直线的解析式,从而求得Q点的纵坐标,得QE求得四边形POAE的面积,当P在CD右侧时,四边形POAE的面积最大值为16,此时点P的位置就一个,令,解得p,得出结论.
解:(1);连接,如图所示,
∵由知,又,
∴是的垂直平分线,
∴,
在中,,,
∴,
∴,
∴所在直线的函数关系为,
又∵点的横坐标为,
∴点纵坐标为,
即,
抛物线过,,,
∴设此抛物线的函数关系式为,把点坐标代入得:
,
解得.
∴此抛物线的函数关系式为,即;
设点,
①若点在的左侧,延长交于,如右图,
所在直线函数关系式为:
∴当时,,即点纵坐标为,
∴,
,
,
②若点在的右侧,延长交于,如右图,
,
∴设所在直线方程为:,把和坐标代入得,
,
解得.
∴所在直线方程为:,
∴当时,,即点纵坐标为,
∴,
∴
,
∴当在右侧时,四边形的面积最大值为,此时点的位置就一个,
令,解得,,
∴当在左侧时,四边形的面积等于的对应的位置有两个,
综上所知,以、、、为顶点的四边形面积等于时,相应的点有且只有个.
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【题目】小明骑自行车去学校,最初以某一速度匀速行驶,中途自行车发生故障,停下来修车耽误了几分钟,为了按时到校,他加快了速度,仍保持匀速行驶,结果准时到校,到校后,小明画了自行车行进路程s(km)与行进时间t(h)的图象,如图所示,请回答:
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系?
(2)根据图象填表:
时间t/h | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
路程s/km |
(3)路程s可以看成时间t的函数吗?
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【题目】如图,在等边△BCD中,DF⊥BC于点F,点A为直线DF上一动点,以B为旋转中心,把BA顺时针方向旋转60°至BE,连接EC.
(1)当点A在线段DF的延长线上时,
①求证:DA=CE;
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系,并说明理由;
(2)当∠DEC=45°时,连接AC,求∠BAC的度数.
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【题目】如图,已知D是BC的中点,过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G.
(1)求证:BF=CG;
(2)若AB=10,AC=6,求线段CG的长.
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【题目】如图,∠AOB=90°,点C,D分别在射线OA,OB上,CE是∠ACD的平分线,CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(1)当∠OCD=56°(如图①),试求∠F;
(2)当C,D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)(如图②),∠F的大小是否变化?若变化,请说明理由若不变化求出∠F.
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【题目】(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D.E证明:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D. A.E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请问结论DE=BD+CE是否成立,若成立,请你给证明:若不存在,请说明理由。
(3)应用:如图③,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD>∠CAE,D. A.E三点都在直线m上,且∠BDA=∠AEC=∠BAC,只出现m与BC的延长线交于点F,若BD=5,DE=7,EF=2CE,求△ABD与△ABF的面积之比。
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