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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,以为直径在第一象限内作半圆,为半圆上一点,连接并延长至,使,过轴于点,交线段于点,已知,抛物线经过三点.

________°.

求抛物线的函数表达式.

为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以为顶点的四边形面积记作,则取何值时,相应的点有且只有

【答案】(1)90;(2);(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时,相应的点P有且只有3个.

【解析】

(1)利用圆周角定理,直径所对的圆周角等于90°,即可得出答案;
(2)利用(1)中的结论易得OBAC的垂直平分线,易得点B,点C的坐标,由点O,点B的坐标易得OB所在直线的解析式,从而得出点E的坐标,用待定系数法得抛物线的解析式;
(3)利用(2)的结论易得点P的坐标,分类讨论①若点PCD的左侧,延长OPCDQ,如右图2,易得OP所在直线的函数关系式,表示出Q点的纵坐标,
QE的长,表示出四边形POAE的面积;②若点PCD的右侧,延长APCDQ,如右图3,易得AP所在直线的解析式,从而求得Q点的纵坐标,得QE求得四边形POAE的面积,当PCD右侧时,四边形POAE的面积最大值为16,此时点P的位置就一个,令,解得p,得出结论.

解:(1)连接,如图所示,
∵由,又
的垂直平分线,

中,


所在直线的函数关系为
又∵点的横坐标为
点纵坐标为



抛物线过
∴设此抛物线的函数关系式为,把点坐标代入得:

解得
∴此抛物线的函数关系式为,即

设点
①若点的左侧,延长,如右图
所在直线函数关系式为:
∴当时,,即点纵坐标为



②若点的右侧,延长,如右图



∴设所在直线方程为:,把坐标代入得,

解得
所在直线方程为:
∴当时,,即点纵坐标为






∴当右侧时,四边形的面积最大值为,此时点的位置就一个,
,解得,
∴当左侧时,四边形的面积等于的对应的位置有两个,
综上所知,以为顶点的四边形面积等于时,相应的点有且只有个.

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时间t/h

0

0.2

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0.4

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