Question

【题目】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题发现：如图1，在等边三角形ABC中，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，证明：BM=CN．

变式探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，点M为边BC上任意一点，以AM为腰作等腰三角形AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，连接CN，请求出的值．（用含α的式子表示出来）

解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点M为边BC上一点，以AM为边作正方形作AMEF，N为正方形AMEF的中心，连接CN，若正方形AMEF的边长为，CN=，请你求正方形ADBC的边长．

Answer 1

【答案】问题发现：证明见解析；变式探究：2sin ；解决问题：3

【解析】

试题分析：问题发现：根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC﹣∠CAM=∠MAN﹣∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．

变式探究：根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到=1且∠ABC=∠AMN，证明△ABC～△AMN，得到，利用等腰三角形的性质BA=BC，得到，，证明△ABM～△ACN，得到，作BD⊥AC，如图2，再由AB=BC，得到∠ABD=，根据sin∠ABD=，得到AD=ABsin，则AC=2AD=2ABsin，从而得到=2sin．

解决问题：利用四边形ADBC，AMEF为正方形，得到∠ABC=∠BAC=45°∠MAN=45°，即∠BAM=∠CAN，由，得到，证明△ABM～△ACN，得到，进而得到=cos45°=，求出BM=2，设AC=x，利用勾股定理，在Rt△AMC，AC2+CM2=AM2，即x2+（x﹣2）2=10，解得：x1=3，x2=﹣1（舍去），即可解答．

解：问题发现，

∵△ABC，△AMN为等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°

∴∠BAC﹣∠CAM=∠MAN﹣∠CAM，

∴∠BAM=∠CAN，

在△BAM与△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN，

∴BM=CN．

变式探究：∵=1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN，

∴，

∵AB=BC，

∴，

∵AM=MN

∴，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴，

作BD⊥AC，如图2，

∵AB=BC，

∴∠ABD=，

∴sin∠ABD=，

∴AD=ABsin

∴AC=2AD=2ABsin，

∴=2sin

解决问题：

如图3，连接AB，AN．

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵，

∴，

∴△ABM～△ACN，

∴

∴=cos45°=，

∴

∴BM=2，

设AC=x，

在Rt△AMC，

AC2+CM2=AM2

即x2+（x﹣2）2=10，

解得：x1=3，x2=﹣1（舍去），

答：边长为3．