Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则矩形的长和宽分别是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：

分析：（1）设出边长为xmm，由正方形的性质得出，PQ∥BC，PN∥AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，

PN

AD

=

BP

AB

、

PQ

BC

=

AP

AB

，代入数据求解即可．
（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．

解答：解：（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根据平行线的性质可以得出：

PN

AD

=

BP

AB

、

PQ

BC

=

AP

AB

，
由题意知PN=x，AD=80，BC=120，PQ=x，
即

x

80

=

BP

AB

，

x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

x

80

+

x

120

=

BP

AB

+

AP

AB

=1，
解得x=48．
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm．

（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根据平行线的性质可以得出：

PN

AD

=

BP

AB

、

PQ

BC

=

AP

AB

，
①PN为长，PQ为宽：
由题意知PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm，
即

2x

80

=

BP

AB

，

x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

2x

80

+

x

120

=

BP

AB

+

AP

AB

=1，
解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PN为宽，PQ为长：
由题意知PN=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，
即

x

80

=

BP

AB

，

2x

120

=

AP

AB

，
∵AP+BP=AB，
∴

x

80

+

2x

120

=

BP

AB

+

AP

AB

=1，
解得x=

240

7

，2x=

480

7

．
即长为

480

7

mm，宽为

240

7

mm．
答：矩形的长为60mm，宽是30mm或者长为

480

7

mm，宽为

240

7

mm．

点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．