Question

2．如图，四边形ABCD是菱形，AB边上的高DE长为4cm，AE=3cm，动点P从点E出发，沿折线E-B-C向终点C运动，运动速度为1cm/s．动点Q从点B出发，沿折线B-C-D向终点D运动，运动速度为2cm/s，点P、Q同时出发，当其中的一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）
（1）求线段BE的长度；
（2）当点P与点B重合时，求点Q到AB的距离；
（3）设△APQ的面积为Scm²．当点P在BC边上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出△DEQ为等腰三角形时t的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理计算出即可，
（2）作出辅助线，利用三角函数求解；
（3）由动点的特点表示出CQ=2t-5，BP=t-2，PC=7-t，再由面积公式计算即可；
（4）分情况讨论：点Q在BC上，在CD上，在BC上，第三种情况建立直角坐标系比较好．

解答 （1）解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{{AE}^{2}{+DE}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=5，
∴BE=AB-AE=5-3=2，

（2）解：如图1，当点P与点B重合时，

∵EB=2cm=t，
∴t=2s，BQ=2t=4cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴∠QBF=∠A，
过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，
∴$\frac{QF}{BQ}$=$\frac{DE}{AD}$=SinA=$\frac{4}{5}$，
∴QF=$\frac{4}{5}$BQ=$\frac{4}{5}$×4=$\frac{16}{5}$，

（3）解：当2≤t≤2.5时，如图2，PQ=BQ-BP=2t-（t-2），

∴S=$\frac{1}{2}$[2t-（t-2）]×4=2t+4，
当2.5＜t≤5时，如图3，CQ=2t-5，BP=t-2，PC=5-（t-2）=7-t，

S=$\frac{1}{2}$（2t-5+5）×4-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{4}{5}$（t-2）-$\frac{1}{2}$（2t-5）×$\frac{4}{5}$（7-t）=$\frac{4}{5}$t²-$\frac{28}{5}$t+18．

（4）解：点Q在线段BC上时，
∵△DEQ为等腰三角形，
①当DQ=DE时，连接DB，
由题意得，∠DBE=∠DBQ，DB=DB，
∴△DBE≌△DBQ，
∴BQ=BE=2，
∴t=2÷2=1，

如图4，②当DQ=EQ时，作DH⊥DE，
∴DH=EH，
∴点H为DE中点，
∵QH∥AB，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$÷2=$\frac{5}{4}$，

③当DE=QE时，以AB所在直线为x轴，以DE所在直线为x轴，点E为原点建立直角坐标系，如图5，
∴点D（0，4），E（0，0），B（2，0），C（5，4），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，（m＞2）
设Q（m，$\frac{4}{3}$m-$\frac{8}{3}$），
∴QB²=（m-2）²+（$\frac{4}{3}$m-$\frac{8}{3}$）²=$\frac{25}{9}$（m-2）²=（2t）²，
∴m=$\frac{6}{5}$t+2或m=-$\frac{6}{5}$t+2（舍），
∴Q（$\frac{6}{5}$t+2，$\frac{8}{5}$t），
∵DE=DQ=4，
∴QE²=（$\frac{6}{5}$t+2）²+（$\frac{8}{5}$t）²，
∴t=$\frac{-3-2\sqrt{21}}{5}$（舍）或t=$\frac{-3+2\sqrt{21}}{5}$．
点Q在CD上时，DQ=DE=4，
∵CD=5，
∴CQ=1，
∴t=（5+1）÷2=3
即：t=1或t=$\frac{5}{4}$或t=$\frac{-3+2\sqrt{21}}{5}$或t=3．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查菱形的性质，三角形面积的计算以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是用t表示线段和点的坐标，本题的难点是建立直角坐标系．