【题目】如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y==x2-4x+3;
(2)AS△ACD=2;
(3)①∠DFE=90°时,E1(2+,1-
); E2(2-
,1+
);②∠EDF=90°时,E3(1,2)、E4(4,-1).
【解析】
(1)已知抛物线的顶点,可先将抛物线的解析式设为顶点式,再将点C的坐标代入上面的解析式中,即可确定待定系数的值,由此得解.
(2)可先求出A、C、D三点坐标,求出△ACD的三边长后,可判断出该三角形的形状,进而得到该三角形的面积.(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行,那么∠OCB=∠FED,若△OBC和△EFD相似,则△EFD中,∠EDF和∠EFD中必有一角是直角,可据此求出点F的横坐标,再代入直线BC的解析式中,即可求出点E的坐标.
解:(1)依题意,设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2-1,代入C(O,3)后,得:
a(0-2)2-1=3,a=1
∴抛物线的解析式:y=(x-2)2-1=x2-4x+3.
(2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0);
设直线BC的解析式为:y=kx+3,代入点B的坐标后,得:
3k+3=0,k=-1
∴直线BC:y=-x+3;
由(1)知:抛物线的对称轴:x=2,则 D(2,1);
∴AD==
,AC=
=
,CD=
=2
,
即:AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;
∴S△ACD=ADCD=
×
×2
=2.
(3)由题意知:EF∥y轴,则∠FED=∠OCB,若△OCB与△FED相似,则有:
①∠DFE=90°,即 DF∥x轴;
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
x2-4x+3=1,解得 x=2±;
当x=2+时,y=-x+3=1-
;
当x=2-时,y=-x+3=1+
;
∴E1(2+,1-
)、E
,1+
).
②∠EDF=90°;
易知,直线AD:y=x-1,联立抛物线的解析式有:
x2-4x+3=x-1,
x2-5x+4=0,
解得 x1=1、x2=4;
当x=1时,y=-x+3=2;
当x=4时,y=-x+3=-1;
∴E3(1,2)、E4(4,-1);
综上,存在符合条件的点E,且坐标为:(2+,1-
)、(2-
,1+
)、(1,2)或(4,-1).
“点睛”此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识;需要注意的是,已知两个三角形相似时,若对应边不相同,那么得到的结果就不一定相同,所以一定要进行分类讨论.
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【题目】如图,正方形ABCD边长为4,点O在对角线DB上运动(不与点B,D重合),连接OA,作OP⊥OA,交直线BC于点P.
(1)判断线段OA,OP的数量关系,并说明理由.
(2)当OD=时,求CP的长.
(3)设线段DO,OP,PC,CD围成的图形面积为S1,△AOD的面积为S2,求S1﹣S2的最大值.
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【题目】如图,正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1),规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,这样连续经过2019次变换后,正方形ABCD的顶点C的坐标为( )
A. (﹣2018,3)B. (﹣2018,﹣3)
C. (﹣2016,3)D. (﹣2016,﹣3)
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【题目】在“学习雷锋活动月”中,某校九(2)班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动(每人只参加一个活动).为了了解情况,小明收集整理相关的数据后,绘制如图所示,不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)求该班的人数;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)求扇形统计图中,广告清除部分对应的圆心角的度数.
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【题目】(本题满分8分)
为了加强学生课外阅读,开阔视野,某校开展了“书香校园,从我做起”的主题活动.学校随机抽取了部分学生,对他们一周的课外阅读时间进行调查,绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下:
请根据图表信息回答下列问题:
(1)频数分布表中的 ,
;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”,请你估计该校
名学生中评为“阅读之星”的有多少人?
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【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为2,CF=1,求的长(结果保留π).
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【题目】已知:如图,矩形ABCD,AB=2,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,点P在对角线BD上,并且A,O,P组成以OP为腰的等腰三角形,那么OP的长等于___.
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【题目】如图,⊙O是正△ABC的外接圆,点D为圆上一点,连接AD,分别过点B和点C作AD延长线的垂线,垂足分别为点E和点F,连接BD、CD,已知EB=3,FC=2,现在有如下4个结论:①∠CDF=60°;②△EDB∽△FDC;③BC=;④
,其中正确的结论有( )个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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【题目】如图1,△ABC是等腰三角形,O是底边BC中点,腰AB与⊙O相切于点D
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)如图2,连接CD,若tan∠BCD=,⊙O的半径为
,求BC的长.
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