Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）求证：CE=EF；
（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+=（+1）2]．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，

解这个方程，得a=，

∴抛物线的表达式为=；

（2）

解：将x=2代入y=x，得y=2

∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，

∵△PCQ为等边三角形

∴∠CQP=60°，CQ=PQ，

∵PQ⊥x轴，

∴∠CQG=30°，

∴CQ=4，GQ=．

∴OQ=2+，PQ=4，

将y=4代入，得4=,

解这个方程，得x1=2+=OQ，x2=2﹣＜0（不合题意，舍去）．

∴点P的坐标为（2+，4）；

（3）

证明：

把y=x代入y=，得x=,

解这个方程，得x1=4+，x2=4﹣＜2（不合题意，舍去）

∴y=4+=EF

∴点E的坐标为（4+，4+）

∴OE==4+，

又∵OC==，

∴CE=OE﹣OC=4+，

∴CE=EF；

（4）

解：

不存在．

如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°，

∴∠MCE=60°

又∵CE=EF，

∴EM=EF，

又∵点E为直线y=x上的点，

∴∠CEF=45°，

∴点M与点F不重合．

∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，

∴原假设错误，满足条件的点M不存在．

【解析】（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．