Question

【题目】△ABC中，AB=AC=5．
（1）如图1，若sin∠BAC= ，求S△ABC；

（2）若BC=AC，延长BC到D，使CD=BC，点M为BC上一点，连接AM并延长到P，使∠APD=∠B，延长AC交PD于N，连接MN．
①如图2，求证：AM=MN；
②如图3，当PC⊥BC时，则CN的长为多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，作高CD，由AB=AC=5，sin∠BAC= ，得高CD=4，

所以S△ABC= ×5×4=10

（2）

解：①如图2，过N作NH⊥MD于H点，

∵AB=AC，BC=AC，BC=CD，

∴AB=CD，△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠NCD，

∴∠NCD=∠B=60°，

∵∠AND=∠APD+∠PAN，

∠AMB=∠ACB+∠PAN，

又∵∠APD=∠B=∠ACB，

∴∠CND=∠AMB，

∴△ABM≌△DCN，

则BM=CN，AM=DN，

在Rt△CNH中，∠CNH=90°﹣60°=30°，

∴CH= CN，又CD= BD，

CD﹣CH= （BD﹣CN）═ （BD﹣BM），

即DH= DM，

所以MN=DN=AM；

②如图3，过A作AG⊥BD，过N作NH⊥BD，垂足分别为G、H，

则BG= ，AG= ，

设CH=x，则CN=2x，BM=2x，DH=5﹣x，NH= x，

∵NH∥PC，

∴ ，

∴ ，PC= ，

∵tan∠AMB= = ，tan∠PMC= = ，

∴ = ，

∴2x2+10x﹣25=0，

x1= ，x2= （舍去），

∴CN=2x=5 ﹣5．

故答案为：5 ﹣5．

【解析】（1）作AB边上的高CD，根据三角函数可求得CD，则可求得△ABC的面积；（2）①过N作NH⊥MD于H点，可证明△ABM≌△DCN，再结合△ABC为等边三角形及直角三角形的性质可求得△MND为等腰三角形，可证得结论；②作辅助线构建直角三角形，在30°的直角△CNH中设CH=x，表示出DH、GM，并利用平行线，得出比例式，求出PC的长，再利用同角三角函数值列等式，求出x的值，则CN=2x=5 ﹣5．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能正确解答此题．