精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C的坐标分别为(0,﹣)、(2,0),将矩形OABC绕点O顺时针旋转45°得到矩形OA′B′C′,边A′B′与y轴交于点D,经过坐标原点的抛物线y=ax2+bx同时经过点A′、C′.

(1)求抛物线所对应的函数表达式;

(2)写出点B′的坐标;

(3)点P是边OC′上一点,过点P作PQOC′,交抛物线位于y轴右侧部分于点Q,连接OQ、DQ,设ODQ的面积为S,当直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1:3的两部分时,求S的值;

(4)保持矩形OA′B′C′不动,将矩形OABC沿射线CO方向以每秒1个单位长度的速度平移,设平移时间为t秒(t0).当矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形时,直接写出t的取值范围.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x

(2)B′(1,﹣3)

(3)SODQ′=×2×=

(4)0t﹣2或t=或2﹣1t2时,矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形.

析】

试题分析:(1)求出A、C两点坐标,把A、C两点坐标代入y=ax2+bx解方程组即可.

(2)如图1中,连接A′C′,OB′交于点E.求出点E坐标,根据中点坐标公式即可解决问题.

(3)分两种情形①当OP:PC′=1:3时,P(,﹣),求出直线PQ的解析式,利用方程组求出点Q坐标即可.②当OP′:P′C′=3:1时,P′(,﹣),方法类似.

(4)分别求出①如图3中,当AB经过点C′时,②如图4中,当O′C′=O′A=时,③如图5中,当点A在直线B′C′上时的时间t,观察图象即可解决问题.

试题解析:(1)如图1中,

由题意A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2),把A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2)代入y=ax2+bx得

解得

抛物线的解析式为y=﹣x2+x.

(2)如图1中,连接A′C′,OB′交于点E.四边形OA′B′C′是矩形,

A′E=EC′,OE=EB′,A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2),E(,﹣),B′(1,﹣3).

(3)如图2中,直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1:3的两部分,

OP:PC′=1:3或OP′:P′C′=3:1.

①当OP:PC′=1:3时,P(,﹣),直线PQ的解析式为y=x﹣1,

,解得点Q在第四象限,

Q().D(0,﹣2),SODQ=×2×=

②当OP′:P′C′=3:1时,P′(,﹣),直线P′Q′的解析式为y=x﹣3,

解得

Q′(),SODQ′=×2×=

(4)如图3中,当AB经过点C′时,t=2﹣2,

如图4中,当O′C′=O′A=时,AB与B′C′交于点M,连接O′M,则O′MA≌△O′MC′,

此时t=OO′=2=

如图5中,当点A在直线B′C′时上,t=OO′=2﹣1.

综上所述,观察图形可知0t﹣2或t=或2﹣1t2时,矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】2017年4月6日,交通运输部科学研究院对外发布《2017年第一季度中国主要城市骑行报告》,报告显示,在车均使用次数方面,昆明排名第一,成为“最爱骑共享单车的城市”.目前已经投入昆明的共享单车约有112000辆.将“112000”用科学记数法表示为(
A.1.12×103
B.1.12×104
C.1.12×105
D.11.2×104

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若多项式amb+a+1是四次三项式,则m=_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】y=x+2﹣b是正比例函数,则b的值是(  )

A. 0 B. ﹣2 C. 2 D. ﹣0.5

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】计算:(﹣3)×2的结果是(  )

A.6B.6C.1D.9

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】河南姑娘朱婷是一位非常优秀和被观众喜爱的排球运动员,下面一组数据是她在某系列赛中的得分统计(单位:分):20212427192324262324,则此系列赛得分的众数和中位数分别是

A.2324B.2323.5C.2423D.2423.5

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,小明将一个正方形纸剪出一个宽为4cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条面积为(
A.16cm2
B.20cm2
C.80cm2
D.160cm2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别为PB、PC的中点,PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2,若S=2,则S1+S2=(

A.4 B.6 C.8 D.不能确定

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.

(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.

(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?

查看答案和解析>>

同步练习册答案