【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C的坐标分别为(0,﹣)、(2,0),将矩形OABC绕点O顺时针旋转45°得到矩形OA′B′C′,边A′B′与y轴交于点D,经过坐标原点的抛物线y=ax2+bx同时经过点A′、C′.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)写出点B′的坐标;
(3)点P是边OC′上一点,过点P作PQ⊥OC′,交抛物线位于y轴右侧部分于点Q,连接OQ、DQ,设△ODQ的面积为S,当直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1:3的两部分时,求S的值;
(4)保持矩形OA′B′C′不动,将矩形OABC沿射线CO方向以每秒1个单位长度的速度平移,设平移时间为t秒(t>0).当矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形时,直接写出t的取值范围.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x;
(2)B′(1,﹣3);
(3)S△ODQ′=×2×=.
(4)0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2时,矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形.
【解析】
试题分析:(1)求出A、C两点坐标,把A、C两点坐标代入y=ax2+bx解方程组即可.
(2)如图1中,连接A′C′,OB′交于点E.求出点E坐标,根据中点坐标公式即可解决问题.
(3)分两种情形①当OP:PC′=1:3时,P(,﹣),求出直线PQ的解析式,利用方程组求出点Q坐标即可.②当OP′:P′C′=3:1时,P′(,﹣),方法类似.
(4)分别求出①如图3中,当AB经过点C′时,②如图4中,当O′C′=O′A=时,③如图5中,当点A在直线B′C′上时的时间t,观察图象即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,
由题意A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2),把A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2)代入y=ax2+bx得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x.
(2)如图1中,连接A′C′,OB′交于点E.∵四边形OA′B′C′是矩形,
∴A′E=EC′,OE=EB′,∵A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2),∴E(,﹣),∴B′(1,﹣3).
(3)如图2中,∵直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1:3的两部分,
∴OP:PC′=1:3或OP′:P′C′=3:1.
①当OP:PC′=1:3时,P(,﹣),直线PQ的解析式为y=x﹣1,
由,解得或,∵点Q在第四象限,
∴Q(,).∵D(0,﹣2),∴S△ODQ=×2×=.
②当OP′:P′C′=3:1时,P′(,﹣),∴直线P′Q′的解析式为y=x﹣3,
由解得或,
∴Q′(,),∴S△ODQ′=×2×=.
(4)如图3中,当AB经过点C′时,t=2﹣2,
如图4中,当O′C′=O′A=时,AB与B′C′交于点M,连接O′M,则△O′MA≌△O′MC′,
此时t=OO′=2﹣=,
如图5中,当点A在直线B′C′时上,t=OO′=2﹣1.
综上所述,观察图形可知0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2时,矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形.
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【题目】2017年4月6日,交通运输部科学研究院对外发布《2017年第一季度中国主要城市骑行报告》,报告显示,在车均使用次数方面,昆明排名第一,成为“最爱骑共享单车的城市”.目前已经投入昆明的共享单车约有112000辆.将“112000”用科学记数法表示为( )
A.1.12×103
B.1.12×104
C.1.12×105
D.11.2×104
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【题目】河南姑娘朱婷是一位非常优秀和被观众喜爱的排球运动员,下面一组数据是她在某系列赛中的得分统计(单位:分):20,21,24,27,19,23,24,26,23,24,则此系列赛得分的众数和中位数分别是 ( )
A.23,24B.23,23.5C.24,23D.24,23.5
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【题目】如图,小明将一个正方形纸剪出一个宽为4cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条面积为( )
A.16cm2
B.20cm2
C.80cm2
D.160cm2
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【题目】如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E、F分别为PB、PC的中点,△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2,若S=2,则S1+S2=( )
A.4 B.6 C.8 D.不能确定
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【题目】鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.
(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?
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