Question

16．如图，△OAB中．OA=OB，∠A=30°，⊙O分别交OA、OB于C、D两点连接CD，E是AB的中点．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AE=CD=4$\sqrt{3}$，求证：AB是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据OC=OD，OA=OB，得到$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，根据平行线的判定定理证明即可；
（2）连接OE，根据等腰三角形的三线合一得到OE⊥AB，根据题意和直角三角形的性质求出OE、OC的长，根据切线的判定定理证明即可．

解答 证明：（1）∵OC=OD，OA=OB，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴CD∥AB；
（2）连接OE，
∵OA=OB，E是AB的中点，
∴OE⊥AB，又∠A=30°，
∴OE=4，
∵CD∥AB，
∴∠OCD=∠A=30°，
又∵CD=4$\sqrt{3}$，
∴OC=4，
∴OE=OC，
又OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．

点评 本题考查的是切线的判定定理、平行线的判定定理、直角三角形的性质，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．