Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=6.点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=______

Answer 1

【答案】12或

【解析】

分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝＝20，证明△PDF∽△BDA，得出，求出PF＝3，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出＝2，求出NF＝2PF＝6，即可得出答案；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF＝3，MF＝6，设MN＝PN＝x，则FN＝6x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

分两种情况：

则①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：

则∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD＝2，BD＝＝20，

∵点P是AD的中点，

∴PD＝AD＝，

∵∠PDF＝∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴，即，

解得：PF＝3，

∵CE＝2BE，

∴BC＝AD＝3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴＝2，

∴MF＝NF＝2PF＝6，

∴MN＝2NF＝12；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：

由①得：PF＝3，MF＝6，

设MN＝PN＝x，则FN＝6x，

在Rt△PNF中，32＋（6x）2＝x2，

解得：x＝，即MN＝；

综上所述，MN的长为12或

故答案为：12或．