Question

3．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；
（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R_t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R_t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r²=（r-4）²+8²，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R_t△ABE中，由sin∠EAD=$\frac{3}{5}$，得到$\frac{BE}{AB}=\frac{3}{5}$，于是求得结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；

（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
在R_t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在R_t△OCD中，设OC=r，
∴r²=（r-4）²+8²，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在R_t△ABE中，
∵sin∠EAD=$\frac{3}{5}$，∴$\frac{BE}{AB}=\frac{3}{5}$，
∵AB=20，
∴BE=12．

点评 本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．