Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F，连接AC、AF、DF，求证：
（1）AE=EF；
（2）△ABE∽△ACF；
（3）△DFC是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）取AB中点M，连接ME，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证得△AME≌△ECF，得出结论；
（2）利用（1）图，△AEF是等腰直角三角形，∠2=∠4，∠ACF=∠B，证得结论；
（3）过F作FN⊥BC的延长线于N，证得△FNE≌△EBA，得出△FCN是等腰直角三角形，易证四边形FNCP为矩形（正方形），求得∠FDC=∠DCF得出结论．

解答：证明：（1）如图（1），

取AB中点M，连接ME，
则AM=BM=BE=CE=

1

2

正方形边长，
∴在Rt△BME中，∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，∠1+∠2=45°．
∵∠AEF=90°，
∴∠1+∠3=45°
∴∠2=∠3．
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=

1

2

×90°=45°，
∴∠ECF=90°+45°=∠AME．
在△AME和△ECF中，

∠2=∠3 AM=CE ∠AME=∠ECF

∴△AME≌△ECF（ASA）
∴AE=EF．
（2）如图（1），
∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，即∠4+∠5=45°．
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，即∠2+∠5=45°，
∴∠2=∠4．
∵∠DCF=∠DCA=

1

2

×90°=45°，
∴∠ACF=45°+45°=90°=∠B，
∴△ABE∽△ACF．
（3）（法一）如图（2），

设正方形ABCD边长为2a，则BE=a，AE=EF=

5

a．
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=

2

AE=

10

a．
过F作FN⊥BC的延长线于N，
则∠FNE=90°=∠B．
又由（1）知，∠3=∠2，EF=AE，
在△FNE和△EBA中，

∠FNE=∠B ∠3=∠2 EF=AE

，
∴△FNE≌△EBA（AAS），
∴FN=BE=a．
∵△FCN是等腰直角三角形，
∴CF=

2

FN=

2

a，
∴

AF

AD

=

EF

CF

=

10

2

．
∵∠1+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∠3=∠2=∠4，
∴∠5=∠1，
∴易证四边形FNCP为矩形（正方形），
∴∠ADF=∠FCE=135°，
∴∠ADF=∠FCE=135°，
∴∠FDC=45°=∠DCF，
∴△DFC是等腰直角三角形．
（法二）如图（3），过F分别作FN⊥BC的延长线于N，FP⊥CD于P，

则∠FNE=90°=∠B．
由（1）知，∠3=∠2，EF=AE，
在△FNE和△EBA中，

∠FNE=∠B ∠3=∠2 EF=AE

∴△FNE≌△EBA（AAS），
∴FN=BE=

1

2

BC=

1

2

CD．
易证四边形FNCP为矩形（正方形），
则CP=FN=

1

2

CD，
∴FP垂直平分CD，
∴FD=FC．
∵∠DCF=

1

2

×90°=45°，
∴∠FDC=∠DCF=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形．

点评：此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点．