Question

5．如图，已知等边三角形AEF的两个顶点E、F都在菱形ABCD的边上，EF⊥AC，下列结论，①CE=CF；②∠BAE=∠DAF；③BE=EC；④三角形AEF的面积等于菱形ABCD的面积的一半，其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用等边三角形的性质，可得AC垂直平分EF，所以CE=CF；利用△ABE≌△ADF，可得∠BAE=∠DAF；因为AB≠AC，所以无法判定③④．

解答 解：∵△AEF为等边三角形，EF⊥AC，
∴AC垂直平分EF，
∴CE=CF，
故①正确；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵CE=CF，
∴BC-CE=CD-CF，
即BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BE=DF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
故②正确；
∵AB≠AC，
∴不能判定△ABC为等边三角形，
∴BE≠EC，三角形AEF的面积与菱形ABCD的面积也无法判定关系，
故③④错误，
故选：B．

点评 本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的三线合一，得到AC垂直平分EF，利用垂直平分线的性质得到CE=CF，再利用全等三角形的性质即可解答．