Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．

解答：解：（1）设抛物线为y=a（x-4）²-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，a=

1

4

；
∴抛物线为y=

1

4

(x-4)2-1=

1

4

x2-2x+3；（3分）

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当

1

4

(x-4)2-1=0时，x₁=2，x₂=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=

22+32

=

13

，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，即

13

4

=

2

CE

，解得CE=

8 13

13

，
∵

8 13

13

＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=-

1

2

x+3；（8分）
设P点的坐标为（m，

1

4

m2-2m+3），
则Q点的坐标为（m，-

1

2

m+3）；
∴PQ=-

1

2

m+3-（

1

4

m²-2m+3）=-

1

4

m²+

3

2

m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=

1

2

×（-

1

4

m²+

3

2

m）×6
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为

27

4

；
此时，P点的坐标为（3，-

3

4

）．（10分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．