Question

【题目】如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．

（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；

（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．

①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；

②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；（2）①30°；②α＝β，证明见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM＝∠FME即可．
（2）①根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义求出∠AEG的度数，根据角平分线的定义求出∠HEN即可解决问题．
②结论：α=β．根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．

（1）结论：AB∥CD．

理由：如图1中，

∵EM平分∠AEF交CD于点M，

∴∠AEM＝∠MEF，

∵∠FEM＝∠FME．

∴∠AEM＝∠FME，

∴AB∥CD．

（2）①如图2中，

∵AB∥CD，

∴∠BEG＝∠EGF＝β＝60°

∴∠AEG＝120°，

∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF＝∠HEG，∠AEM＝∠MEF

∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝60°，

∵HN⊥EM，

∴∠HNE＝90°，

∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．

②猜想：α＝β．

理由：∵AB∥CD，

∴∠BEG＝∠EGF＝β，

∴∠AEG＝180°﹣β，

∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF＝∠HEG，∠AEM＝∠MEF

∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β

∵HN⊥EM，

∴∠HNE＝90°，

∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．