Question

【题目】问题提出：

有n个环环相扣的圆环形成一串线型链条，当只断开其中的k（k＜n）个环，要求第一次取走一个环，以后每次都只能比前一次多得一个环，则最多能得到的环数n是多少呢？

问题探究：

为了找出n与k之间的关系，我们运用一般问题特殊化的方法，从特殊到一般，归纳出解决问题的方法.

探究一：k=1，即断开链条其中的1个环，最多能得到几个环呢？

当n=1,2,3时，断开任何一个环，都能满足要求，分次取走；

当n=4时，断开第二个环，如图①，第一次取走1环；第二次退回1环换取2环，得2个环；第三次再取回1环，得3个环；第四次再取另1环，得4个环，按要求分4次取走．

当n=5，6，7时，如图②，图③，图④方式断开，可以用类似上面的方法，按要求分5,6,7次取走．

当n=8时，如图⑤，无论断开哪个环，都不可能按要求分次取走．

所以，当断开1个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成3部分，分别是1环、2环和4环，最多能得到7个环．

即当k=1时，最多能得到的环数n=1+2+4=1+2×3=1+2×（22-1）=7.

探究二：k=2，即断开链条其中的2个环，最多能得到几个环呢？

从得到更多环数的角度考虑，按图⑥方式断开，把链条分成5部分，按照类似探究一的方法，按要求分1,2，…23次取走．

所以，当断开2个环时，把链条分成5部分，分别是1环、1环、3环、6环、12环，最多能得到23个环．

即当k=2时，最多能得到的环数n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×（23-1）=23.

探究三：k=3，即断开链条其中的3个环，最多能得到几个环呢？

从得到更多环数的角度考虑，按图⑦方式断开，把链条分成7部分，按照类似前面探究的方法，按要求分1,2，…63次取走．

所以，当断开3个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成7部分，分别是1环、1环、1环、4环、8环、16环、32环，最多能得到63个环．

即当k=3时，最多能得到的环数n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×（24-1）=63.

探究四：k=4，即断开链条其中的4个环，最多能得到几个环呢？

按照类似前面探究的方法，当断开4个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 部分，分别为 ，最多能得到的环数n= ．请画出如图⑥的示意图．

模型建立：

有n个环环相扣的圆环形成一串线型链条，断开其中的k（k＜n）个环，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 部分，

分别是：1、1、1……1、k+1、 、……、 ，最多能得到的环数n = ．

实际应用：

一天一位财主对雇工说：“你给我做两年的工，我每天付给你一个银环．不过，我用一串环环相扣的线型银链付你工钱，但你最多只能断开银链中的6个环．如果你无法做到每天取走一个环，那么你就得不到这两年的工钱，如果银链还有剩余，全部归你！你愿意吗？”

聪明的你是否可以运用本题的方法通过计算帮助雇工解决这个难题，雇工最多能得到总环数为多少环的银链？

Answer 1

【答案】探究四：详见解析；模型建立：详见解析；实际应用：雇工最多能得到总环数为895环的银链

【解析】

探究四：根据题意画出图形分析，由此得出答案;

模型建立：由前面当n=1,2,3,4分析可得，从而得出其中的规律;

实际应用：当k＝6代入n = k+(k+1)×（2k+1-1）计算即可.

探究四：k=4，即断开链条其中的4个环，最多能得到几个环呢？

按照类似前面探究的方法，当断开4个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 九 部分，分别为 1,1,1,1,5,10,20,40,80 ，最多能得到的环数n= 1+1+1+1+5+10+20+40+80=4+5×（25-1）=159 ．

示意图．

模型建立：有n个环环相扣的圆环形成一串线型链条，断开其中的k（k＜n）个环，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成 2k+1 部分，

分别是：1、1、1……1、k+1、 2(k+1) 、……、 2k(k+1) ，最多能得到的环数n = k+(k+1)×（2k+1-1） 个.

实际应用：

6+7×（27-1）=895.

因为895大于两年的天数,

所以愿意.

答：雇工最多能得到总环数为895环的银链.