Question

16．某公司新开发一种电子产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=$-\frac{1}{100}$x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w_内（元）（利润=销售额-成本-广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳$\frac{1}{100}$x²元的附加费，设月利润为w_外（元）（利润=销售额-成本-附加费）．
（1）若在国内销售，当月销售量为1000件时，该产品的销售价格和月利润分别是多少元？当月销售量为多少件时，在国内销售的月利润最大？最大利润是多少？
（2）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（3）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

Answer 1

分析 （1）将x=1000代入y求得y值即可求得销售价格，代入w_内=x（y-20）-62500即可求得月利润；
（2）先运用二次函数的性质求出w_内取最大值时x的值，再根据w_外的最大值等于w_内的最大值，列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；
（3）先分别求出当x=5000时，w_内与w_外的值，再分w_内＜w_外，w_内=w_外，w_内＞w_外这三种情况进行讨论，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=-$\frac{1}{100}$x+150，
∴当x=1000时，y=-10+150=140，w_内=x（y-20）-62500=1000×120-62500=57500，
∴当销量为1000件时，销售价格为140元，月利润为57500元；
w_内=x（y-20）-62500=x（-$\frac{1}{100}$x+150-20）-62500=-$\frac{1}{100}$x²+130x-62500，
即w_内=-$\frac{1}{100}$x²+130x-62500=-$\frac{1}{100}$（x-6500）²+360000，
∴当销量为6500件时有最大利润360000元；

（2）w_外=x（150-a）-$\frac{1}{100}$x²=-$\frac{1}{100}$x²+（150-a）x，
即w_外=-$\frac{1}{100}$x²+（150-a）x；
∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，
$\frac{0-（150-a）^{2}}{4×（-\frac{1}{100}）}$=360000
解得a₁=30，a₂=270（不合题意，舍去）．
所以 a=30；

（3）当x=5000时，w_内=-$\frac{1}{100}$×5000²+130×5000-62500=337500，
w_外=-$\frac{1}{100}$×5000²+（150-a）×5000=-5000a+500000．
若w_内＜w_外，即当a＜32.5时，在国外销售才能使所获月利润较大；
若w_内=w_外，即当a=32.5时，在国内、外销售所获月利润一样大；
w_内＞w_外，即当a＞32.5时，在国内销售才能使所获月利润较大

点评 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出w_内，w_外与x间的函数关系式是解题的关键．