Question

1．如图，在平面直角坐标系中，A（-10，0），点B在第二象限，tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，点A和点A₁关于直线OB对称，且A₁在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，则k的值（　　）

• A． -12
• B． -12$\sqrt{5}$
• C． -24
• D． -48

Answer 1

分析 连接AA′交直线OB于H，根据点A和点A₁关于直线OB对称，得出AA′⊥直线OB，AH=A′H，OA=OA′，根据tan∠AOB=$\frac{1}{2}$求得$\frac{AH}{OH}$=$\frac{1}{2}$，从而根据勾股定理求得AH=2$\sqrt{5}$，AA′=4$\sqrt{5}$，作A′G⊥OA于G，设OG=x，则AG=10-x，根据勾股定理得出（4$\sqrt{5}$）²-（10-x）²=10²-x²，解方程求得x的值，即可求得OG=6，进而求得A′G=8，得出A′（-6，8），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值．

解答 解：连接AA′交直线OB于H，
∵点A和点A₁关于直线OB对称，
∴AA′⊥直线OB，AH=A′H，OA=OA′，
∴tan∠AOB=$\frac{AH}{OH}$，
∵tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AH}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
∵A（-10，0），
∴OA=10，
∴AH=2$\sqrt{5}$，
∴AA′=4$\sqrt{5}$，
作A′G⊥OA于G，设OG=x，则AG=10-x，
∴AA′²-AG²=OA²-OG²，则（4$\sqrt{5}$）²-（10-x）²=10²-x²，
解得x=6，
∴OG=6，AG=4，
∴A′G=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴A′（-6，8），
∵A₁在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，
∴k=-6×8=-48．
故选D．

点评 本题考查了轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．