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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0<t<6).
(1)当t为何值时,△PBC为等腰直角三角形?
(2)求当移动到△QAP为等腰直角三角形时斜边QP的长.

【答案】
(1)解:对于任何时刻t,PB=12﹣2t,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=90°,CB=AD=6,

当PB=CB时,△PBC为等腰直角三角形,

即12﹣2t=6,

解得:t=3

∴当t=3,△PBC为等腰直角三角形


(2)解:∵AP=2t,DQ=t,QA=6﹣t

当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形.

即6﹣t=2t.

解得:t=2(秒).

∴当t=2秒时,△QAP为等腰直角三角形.

此时 AP=4,QA=2,

在Rt△QAP中,QP= = =2


【解析】(1)由矩形的性质得出∠A=∠B=90°,CB=AD=6,当PB=CB时,△PBC为等腰直角三角形,得出方程,解方程即可;(2)由题意得出AP=2t,DQ=t,QA=6﹣t当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形.得出方程,解方程求出t=2,得出AP、QA的长度,再由勾股定理求出QP即可.
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理的概念的相关知识点,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题.

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