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【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.

(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;(3)存在,

【解析】分析:(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;

(2)连接BC,则ABC的面积是不变的,过P作PMy轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;

(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于AGP=GNC+GCN,所以当AGB和NGC相似时,必有AGB=CGB=90°,则可证得AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.

(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得抛物线解析式为

(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,

中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,A点坐标为(﹣1,0),AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,SABC=ABOC=×4×3=6,B(3,0),C(0,﹣3),直线BC解析式为y=x﹣3,设P点坐标为(x,),则M点坐标为(x,x﹣3),P点在第四限,PM= =SPBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,当PM有最大值时,PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,PM==当x=时,PMmax=,则SPBC==,此时P点坐标为(),S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+=,即当P点坐标为()时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为

(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则AGP=GNC+GCN,当AGB和NGC相似时,必有AGB=CGB,又AGB+CGB=180°,∴∠AGB=CGB=90°,∴∠ACO=OBN,在RtAON和RtNOB中∵∠AOC=NOB,OC=OB,ACO=NBO,RtAONRtNOB(ASA),ON=OA=1,N点坐标为(0,﹣1),设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得直线m解析式为,即存在满足条件的直线m,其解析式为

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