【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)P点坐标为(,)时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;(3)存在,.
【解析】分析:(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;
(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB=90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得:,解得:,∴抛物线解析式为;
(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,
在中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A点坐标为(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC解析式为y=x﹣3,设P点坐标为(x,),则M点坐标为(x,x﹣3),∵P点在第四限,∴PM= =,∴S△PBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,∵PM==,∴当x=时,PMmax=,则S△PBC==,此时P点坐标为(,),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即当P点坐标为(,)时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;
(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,则∠AGP=∠GNC+∠GCN,当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中,∵∠AOC=∠NOB,OC=OB,∠ACO=∠NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N点坐标为(0,﹣1),设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得:,∴直线m解析式为,即存在满足条件的直线m,其解析式为.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0<t<6).
(1)当t为何值时,△PBC为等腰直角三角形?
(2)求当移动到△QAP为等腰直角三角形时斜边QP的长.
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【题目】已知:如图,直线BD分别交射线AE、CF于点B、D,连接A、D和B、C,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF,求证:
(1)AD∥BC;
(2)BC平分∠DBE.
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【题目】广州亚运会中,志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽,车间70名工人承接了生产丝巾的任务,已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或脖子上的丝巾1200条,一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾,为了使每天生产的丝巾正好配套,应分配多少名工人生产脖子上的丝巾,多少名工人生产手上的丝巾?
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【题目】如图,点B在线段AC上,点E在线段BD上,∠ABD=∠DBC,AB=DB,EB=CB,M、N分别是AE、CD的中点.
(1)求证:△ABE≌△DBC;
(2)判定△BMN的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图1,我们在2017年1月的日历中标出一个十字星,并计算它的“十字差”(将十字星左右两数,上下两数分别相乘再将所得的积作差,称为该十字星的“十字差”).该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48,再选择其他位置的十字星,可以发现“十字差”仍为48.
(1)如图2,将正整数依次填入5列的长方形数表中,探究不同位置十字星的“十字差”,可以发现相应的“十字差”也是一个定值,则这个定值为 .
(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3),继续前面的探究,可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值,请用k表示出这个定值,并证明你的结论.
(3)如图3,将正整数依次填入三角形的数表中,探究不同十字星的“十字差”,若某个十字星中心的数在第32行,且其相应的“十字差”为2017,则这个十字星中心的数为(直接写出结果).
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