Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，则下列结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BCD的周长等于AB+BC；④∠C=2∠A；⑤S_△BCD=S_△ABD，正确的个数（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，即可求得①BD平分∠ABC；继而证得△BCD是等腰三角形，则可得②AD=BD=BC，则可求得③△BCD的周长等于AB+B；④∠C=2∠AC；又由AD=BD＞CD，可得S_△BCD＜S_△ABD．

解答：解：①∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
即BD平分∠ABC，故①正确；

②∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故②正确；

③∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC；故③正确；

④∵∠C=72°，∠A=36°，
∴∠C=2∠A，故④正确；

⑤∵AD=BD＞CD，
∴S_△BCD＜S_△ABD，故⑤错误．
故选C．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．